Tværfagligt samarbejde mellem musik og matematik

Matematik og musik kan samarbejde på mange forskellige niveauer. Toneskalaer kræver kun kendskab til brøkregning, mens andre emner som Fourieranalyse forudsætter avanceret matematik. Der er imidlertid en række faglige traditioner i gymnasiet, der altid vil gøre det svært at lave en rigtig god og sammenhængende problemstilling, der skal bearbejdes. Ofte bliver løsningen at man indenfor en overordnet ramme behandler et emne set fra en musik-vinkel og en matematik-vinkel, men at disse to besvarelser ikke lapper meget ind over hinanden.  I centrale dele af opgaven, mens matematikken typisk vil tage fat på konkrete modeller for stemning eller instrumentudformning, der ikke i samme grad er knyttet til et bestemt nummer eller en bestemt stil. Der kan også være tale om, at komponister inspireres af abstrakte matematiske systemer, uden at denne inspiration på nogen måder går den anden vej.

Nedenfor er angivet nogle temaer, nogle ideer til samlende problemstillinger og nogle retninger indenfor henholdsvis musik og matematik.

Synthesizeren

Et hovedfokus på synthesizeren kan være at se på instrumentet og samtidig se på, hvordan dette nye instrument samtidig er med til at udvikle nye tendenser i musikken. Stikord til denne opgave, og til de underspørgsmål man kan stille kan være:

• En karakteristik af henholdsvis akustiske, elektro-akkustiske og elektroniske instrumenter
• Særlig fokus på syntheziseren og på additiv og substruktiv synthese
• I additiv synthese (hvor klangen bygges op ved at regulere overtonerne) kan man ved hjælp af fourieranalyse regne på de elektroniske grundtyper: squaretone, sawtone og triangletone. Det er der pæn og solid matematik i.
• I musik skal man se på numre, hvor syth’ens funktion ændres. Det kan være se på et nummer, hvor synthen bruges som erstatning for et akustisk instrument, og musikkens form og karakter bevares, og sammenligne med musik, som f.eks techno,, hvor strukturen i musikken og vægtningen af de musikalske parametre er ændret. Det kan være musik, hvor gentagelse af små stumper gør, at fokus flytter fra harmonik og storform mod rytme og klangfarve.

Klaverstemning

Hovedfokus på dette emne er, hvilken betydning indførelsen af de tempererede stemninger har.

Det kunne lægge op til følgende problemstillinger:

• En grundlæggende beskrivelse af de matematiske konflikter, der indbygget i de perfekte intervaller. Vi kan ikke stemme et klaver, så tangenterne bliver rene indbyrdes alle sammen.
• En musikhistorisk præsentation af hvordan man til forskellige tider har valgt at stemme tasteinstrumenter.
• En konkret påvisning af, at et bestemt stykke ikke kunne være spillet i en renaissance-stemning men godt i en tempereret stemning.

Helt grundlæggende så vil man i renæssancestemning oftest holde sig i tonearter med op til to faste fortegn. Derfor kan man fx ved at tage et klaverstykke af J.S.Bach i G#dur eller C#dur påvise, at dette stykke ville lyde rigtig dårligt i en renæssancestemning. I musiksammenhæng vil man nok ofte foretrække at ledsage dette af spørgsmål omkring form, harmonik og stil generelt, men strengt taget er det ikke nødvendigt, hvis man vil påvise hvordan værket kun kan tænkes i en tempereret sammenhæng. Dette spørgsmål kan besvares bare ved at analysere på 3-4 udvalgte akkorder.

Matematisk set er dette ikke så "tungt" stof. Ideen er snarere at bruge matematikken til at overskue en forholdsvis kompleks problemstilling. Man kan godt bruge det på A-niveau, men nogen matematiklærere vil måske savne egentlige bevistunge problemstillinger.

En anden tilgang, der er meget mere værknær er den, som Jens Ulrik Lefmann lægger op til i sit spændende papir "Den gode stemning". Her prøver han at påvise træk i enkelte numre, der viser hvorfor dette nummer passer særlig godt i en klassisk tempereret stemning - bedre end den ligesvævende stemning. Det er imidlertid en øvelse, der stiller store krav til både elev og vejleder, så det er vigtigt sætte sig grundigt ind i stoffet inden man giver det til eleverne. 

Naturtrompeten

Naturtrompeten (trompeten uden ventiler) bruges til og med Wienerklassikken. Ventiltrompeten udvikles først omkring 1815-1830.

Det kunne lægge op til følgende problemstillinger:

• Hvilke begrænsninger giver det for instrumentet?
• Hvad kan man spille for toner?
• Hvilken betydning har det at kunne intonere?
• Hvad betyder det for anvendeligheden sammenlignet med fx obo'en?
• Hvad er den grundlæggende fysiske forskel på en obo og en trompet?

Diskuter ligesvævende/tempereret stemning overfor naturtrompeten. Umiddelbart er det kun i forbindelse med tasteinstrumenter med fast stemning, at en skelnen mellem ligesvævende og ren stemning (i en eller anden forstand) giver mening. For instrumenter, der har mulighed for at intonere ligger stemningen både i instrumentet og hos musikeren. Men for et instrument som naturtrompeten kan man godt argumentere for at dette instrument bygger på en ren stemning (naturtoner).

Analyser musik af Mozart/Bach/ Haydn. Forklar hvordan det afspejler sig i musikken, at det er skrevet til naturtrompet. Hvordan ændredes instrumentets rolle efter ventiltrompeten blev udbredt i starten af 1800-tallet.

Ud fra en matematik-vinkel er der ikke så meget svært stof i dette spørgsmål umiddelbart. Det ligger dermed oplagt til matematik B, men kan selvfølgelig godt udbygges. 

Det gyldne snit og Mozart

I en artikel I Mathematics Magazine i oktober 1995 af John F. Pultz argumenteres for, at de satser i Mozarts klaversonater, der er lavet i sonateform er delt i det gyldne snit.

Man kunne vælge at lade dette være hovedfokus: En gennemgang og en diskussion i om dette overhovedet er videnskab.

De matematiske vinkler man kan spørge til er dels det gyldne snit og evt. proportionalregression, hvis man har lyst til det. Der er mange udmærkede tekniske spørgsmål til.

Man kan altid spørge om analysen af en eller anden Mozart klaver-koncert og det eneste der i vinklen med det gyldne snt er interessant er forholdet mellem eksposition, gennemføringsdel og reprise.

Men spørgsmålet er, hvad eleven skal have ud af det. Det ligger lige til højrebenet at konkludere noget ”universelt” omkring smukke proportioner, men det er desværre forkert. Det viser sig, at det ”evigtgyldige” kun gælder for netop klaversonaten (sammenlign fx med forskellige symfonier) og desværre også kun for Mozart. Det ville være mere relevant at påstå, at gennemføringsdelen over en meget lang periode udgør en større og større del af hele satsen (formodentlig fordi interessen flytter sig fra at præsentere to ideer til at opløse og bearbejde dem), og at proportionerne tilfældigvis nærmer sig det gyldne snit hos Mozart...for klaversonaten. Dermed er der skruet lidt ned for det evigtgyldige og hvad man overhovedet kan lave videnskab på. Det er en svær diskussion for eleven. 

Kædebrøker og den tilnærmede kvint

Et emne som bl.a. bladet Mathilde har inspireret til er, at se på kædebrøker. Det er et sjovt matematisk emne, der kan skrives ind i forkellige opgaver men i sig selv er det meget specielt.

Idéen er som følger: Vi laver et klaver, der bare har en oktav. Vi deler oktaven op i et eller andet antal tangenter, og tonerne ligger med samme afstand. Den perfekte kvint vil ligge 7 halvtoner oppe, hvis vi deler oktaven op i 12 lige store intervaller. Det er den ligesvævende stemning. Denne ligesvævende kvint har en fejl på 2 cent eller på 2/100 af en halvtone. Men ville fejlen blive mindre, hvis vi inddelte i 15-tangenter/toner pr oktav eller i 17? Det viser sig, at vi skal op på 41 tangenter indenfor hver oktav for at få en bedre kvint. 

Set fra en matematisk vinkel er spørgsmålet at bestemme den bedste rationelle tilnærmelse af tallet log₂(3/2). I denne tilgang er der masser af matematik, men det er bare lidt svært at se hvad man skal bruge det til i en konkret musikalsk sammenhæng, og der er heller ikke rigtig nogle værker.