Eksempel på innovation i matematik

Eksemplerne er udvalgt med henblik på at kunne anvendes i den daglige undervisning og med fokus på, hvordan faget kan bidrage til at styrke elevernes innovative kompetencer. Af denne grund er innovationsforståelsen således løsrevet fra særlige innovative processer. For en mere generel diskussion af innovationsdidaktik i gymnasiet henvises til ”Model for arbejdet med innovation i STX og HF”. Beskrivelserne ligger også på Fondens hjemmeside.

Udgangspunktet for beskrivelserne er fagets formål, indhold, metoder og arbejdsformer og det eksemplificeres hvordan man ved at accentuere bestemte stofområder og styrke bestemte arbejdsformer og didaktiske principper i en faglig kontekst, kan understøtte træning af innovative kompetencer i henhold til BUVM´s vejledning om ”Elevernes innovative kompetencer”. Desuden trækkes der tråde til entreprenørskabstaksonomien indenfor dimensionerne handling, omverdensforståelse, kreativitet og personlig indstilling, Jf. NQF 4 for de gymnasiale uddannelser, Taksonomi for Entreprenørskabsuddannelse, s. 17

På EMU´en ligger der også rammebeskrivelser udarbejdet for andre fag. Da fagene er forskellige, er hver fagbeskrivelse således unik. Ligeledes er de indlejrede innovative kompetencer forskellige for fag til fag. Det er således intentionen, at summen af fagenes arbejde med de innovative kompetencer samlet medfører, at eleverne øger deres innovative kompetencer og dermed på en fagligt kvalificeret måde kan indgå i innovative processer i henhold til vejledningen.

Tak til en lang række gymnasielærere, fagkonsulenter og kolleger som har bidraget med tanker, forestillinger, refleksioner og erfaringer. Som læser af denne publikation håber vi ligeledes at du vil sende dine kommentarer og perspektiver, som evt. kan indarbejdes i senere udgaver.

Innovation i matematik

Generelle og didaktiske betragtninger

I matematik er vi vant til, at resultatet ikke er nyt, men entydigt og kendt på forhånd af læreren. Selv i mange problemorienterede projektforløb ved læreren, hvad eleverne skal nå frem til. Matematik er således ikke et innovationsfag, men et fag, der i sin natur har indbygget innovative elementer. Vi skal derfor bevæge os væk fra den kontrollerede arbejdsproces og sende eleverne ud på opdagelse med matematikken som værktøjskasse, hvor det er dem der vælger produktet. Foruden det selvstændige præg skal produktet for at kvalificeres som innovativt, også opfylde de innovative krav:

• Det skal være nyt i den konkrete sammenhæng.
• Det skal skabe værdi for andre.
• Eleverne skal reflektere over og kunne argumentere for, at det er nyt og værdiskabende.

Et eksempel på dette kunne være at arbejde med stress-reduktion blandt gymnasieelever. Med udgangspunkt i undersøgelsen ”Gymnasieelever er stressede”, kan eleverne få som opgave at udarbejde en poster eller en præsentation til bestyrelsen, hvor de redegør for situationen blandt gymnasiets elever og komme med anbefalinger til elever, forældre, lærere og ledelse om hvordan det kan afhjælpes. Denne præsentation skal tage udgangspunkt i en lokal undersøgelse. Det vil her være aktuelt at undersøge forhold som omfanget af stress blandt eleverne, hvem det rammer? (alder, studieretning, De “dygtigste”, køn, vaner, søvnmønster, alkoholforbrug osv.)

Herved leves også op til fagets formål om, at ”Eleverne skal… opnå et solidt grundlag for at kunne begå̊ sig og bidrage aktivt, konstruktivt og innovativt i et demokratisk samfund.” Vi har altså i matematikundervisningen et ansvar for, at eleverne kommer til at bidrage innovativt til samfundet.

Et meget gennemgående træk i faget matematik er at kunne få ”den gode ide”. Det kendes f.eks. fra løsning af ligninger, reduktionsopgaver eller beviser, hvor det at kunne genkende mønsteret fra en kvadratsætning og anvende den baglæns for at komme videre er den gode ide. Det giver nye muligheder for at komme videre i løsningen. Den gode ide kender vi også fra integration ved substitution, når vi sætter på fælles brøkstreg, når vi finder på at gange med 2 på begge sider osv. Det er den kreative kompetence, der slår igennem, når eleverne tør at gøre forsøget for at se, om det kan hjælpe dem igennem en beregning. Det er store, men ikke uopnåelige krav, som nås ved, at vi i små brudstykker træner deres innovative kompetencer gennem matematikundervisningen. Ikke i stedet for, men som en integreret del af det faglige arbejde.

Innovation i relation til fagets identitet og formål

I lærerplanen står der som en del af fagets identitet, at ”Videnskabsfaget matematik har udviklet sig gennem en stadig vekselvirkning mellem anvendelser og teoriopbygning.” I den vekselvirkning er fagligheden opstået vha. en innovativ og kreativ tilgang til problemer eller formodede sammenhænge, hvilket har krævet et åbent sind og eksperimenterende tilgange af de mennesker, der har været med til at udvikle faget. De samme tilgange og innovative kompetencer skal vi ideelt set have eleverne til at oparbejde og anvende, når de arbejder med matematik

Det sker bl.a. ved, at eleverne trænes i at have et åbent sind overfor det faglige arbejde, dvs. en personlig indstilling, som lader dem deltage engageret og vedholdende i usikre og åbne opgaver. De skal arbejde kreativt ved eksperimenterende og undersøgende arbejde i kreative processer, hvor de inddrager relevant faglig viden. Der forventes naturligvis ikke, at eleverne udvikler ny matematisk teori og altså skaber faglig innovation, men vi kan have en ambition om, at de sætter deres faglighed i spil i kreative, værdiskabende projekter. I den proces skal eleverne iværksætte handling, dvs. organisere og planlægge dele af projektforløbet, eksekvere og sørge for at komme i mål med det endelige produkt indenfor de fastsatte rammer

Innovation i relation til didaktiske principper og arbejdsformer

Matematik er som fag belastet af en tradition for, at alle svar er enten korrekte eller ikke korrekte. Der kan være forskellige metoder til at nå frem til løsningen, men selve løsninger er i matematik traditionelt indiskutabel. Det dogme bærer eleverne med sig, når de går ind i matematikklasserummet. Det er således ikke umiddelbart oplagt at kombinere innovativ kompetencetræning med deduktive metoder, træning af matematiske færdigheder og typeopgaver. Derfor bør det implementeres i den problemløsende, virkelighedsnære og anvendelsesorienterede matematiske tilgang og netop i det omfang, hvor matematik bevæger sig ud i omverdensrelationen og bliver et modelredskab for ydre problemstillinger bliver der plads til at udfordre og diskutere, hvad der er den gode eller den mindre gode løsning på en problemstilling. En del af fagets formål er netop, at eleverne skal ”blive i stand til at kunne forholde sig kritisk til og vurdere andres brug af matematik”. Netop vurderingsdelen spiller en central rolle i arbejdet med innovation, og elevens metodebevidsthed og faglige kritiske sans skærpes både i arbejdet med at producere eget materiale i en faglig kontekst, fordi de selv bliver udsat for at skulle træffe nogle valg, men også når de vurderer hinandens og andres anvendelse og formidling af matematikken. Alle valg medfører fordele og ulemper i forhold til, hvis der var blevet truffet et andet valg, og det bliver tydeligere for eleverne når de arbejder på denne måde. Her trænes både kreativitet, handlings- og omverdenskompetence.

Vi skal få eleverne til at turde bevæge sig ind i en metodisk tilgang til at løse en opgave, hvor en masse løsningsforslag kommer i spil til vurdering, og eleverne dermed frigør sig fra skabeloner og standardprocedurer. På den måde trænes både kreativitet som metode til opgaveløsning og den personlige indstilling i relation til at imødekomme udfordringen og håndtere de følelsesmæssige frustrationer, der måtte opstå undervejs.

Når eleverne stilles over for udfordringer, som kan løses med forskellige metoder med forskellige resultater til følge, er nogle metoder måske bedre end andre. Så er det relevant, at eleven kan vurdere metoden og altså være bevidst om de fordele og ulemper, der er ved at anvende netop den valgte løsningsmetode og om hvordan det påvirker resultatet.

Eksempler med innovation i undervisningen

Her følger nogle få eksempler på, hvordan innovative kompetencer kunne tænkes ind under faglige emner. Flere eksempler på lidt længere innovative projektforløb findes online i materialet fra Fonden for Entreprenørskab, Skanderborg Gymnasium og ”Innovation i matematik”.

Kernestof og mindstekrav

Eksempel 1: Modellering

Når eleverne opstiller og sammenligner forskellige matematiske modeller, der har til formål at beskrive den virkelighed, der analyseres, bliver de bevidste om forskellige fremstillingsformers påvirkning på konklusionerne. De bliver bevidste om at talmæssige værdier og fremstillinger ikke er sandhed, men er resultater af idealiseringer af verden. Flere innovative kompetencer er i spil; kreativitet, hvis opgaven er tilstrækkelig åben. handlingskompetencen, når der træffes valg og samarbejdes og omverdensforståelse når resultatet af modelarbejdet får relevans for mennesker.

At kunne fremskrive tendenser med den bedst mulige model, kan give et formodet billede af fremtiden og dermed et grundlag for at afsøge muligheder og dermed styrkekompetencen inden for omverdensrelation. Eleverne kan evt. udvide, justere, kombiner eller tilpasse matematiske modeller og på den måde også være kreative i modelleringsprocessen.

Eksempel 2: Statistisk behandling af et autentisk datamateriale

Når eleverne laver en statistisk behandling af et autentisk datamateriale, skabes et overblik over et ofte uoverskueligt talmateriale. Det giver mulighed for at konkludere eller sagligt diskutere problemstillinger i relation til datamaterialet. Hvis man didaktisk kan slippe styringen som underviser, kan man træne eleverne i handlingskompetencen, fordi de dermed arbejder med at tage ansvar, organisere, planlægge og gennemføre processen i en faglig kontekst. Især hvis valget af deskriptorer eller statistiske test er åbent for eleverne bliver deres mulighed for handling sat på prøve. Indsamler eleverne selv datamateriale, øges omfanget og kompleksiteten af forløbet, og elevernes handlingspotentiale udfordres dermed yderligere. Hvis præsentationen eller sammenhængen er ny og værdiskabende, vil arbejdet tillige kunne kvalificere sig som innovativt. Og forskellige præsentationer af data og konklusioner vil have forskellig værdi for modtageren.

Eksempel 3: Hypotesetest i binomialfordelingen

Lad eleverne opstille hypoteserne indenfor et fælles emne, teste hypoteserne og præsentere resultaterne for klassen. Det træner eleverne i at stille opgaver, og de får selv indflydelse på det de skal arbejde videre med indenfor binomialtest. Selvstændigheden fordrer kreativitet og det anvendelsesorienterede i hele hypoteseopsætningen træner omverdensrelationen, fordi statistiske konklusioner og formidlingen af disse, giver forståelse for den verden, der omgiver dem.

Supplerende stof

Eksempel 4: Gælds- og opsparingsannuitet

Et forløb om ÅOP og kviklån gør eleverne bevidste om prisen for at optage lån og mulighed for at gennemskue, hvornår et lån er en dårlig forretning for låntager. Det giver dem bedre mulighed for at agere økonomisk ansvarligt i deres personlige liv og hjælper dem med en forståelse for egne økonomiske muligheder og styrker dermed deres omverdensrelation, som innovativ kompetence.

Her er et personligheds- og virkelighedsnært matematisk emne, som kan have stor personlig relevans for eleverne og deres fremtid. Man kan lade eleverne lege lånehajer og bede dem beregne ÅOP og reklamere for en låntype, de selv finder på. Herved aktiveres det kreative element og opgaven er et eksempel på et selvstændigt elevprodukt i en matematikfaglig kontekst, altså en på forhånd ukendt opgave. Det er tvivlsomt, om man kan godtgøre det innovative krav med nyt og værdiskabende, men der er innovative elementer i spil.

Eksempel 5: Mandatfordeling

Her kan man starte med, at eleverne selv skal finde på en mandatfordelingsmetode, inden de bliver præsenteret for de kendte metoder. Her trænes faglig kreativitet og et grundlag for bedre omverdensforståelse i et selvproduceret løsningsforslag.

Eksempel 6: Mønster med vektorer

Lad eleverne konstruere i f.eks. GeoGebra et flot mønster eller en figur bestående af de geometriske figurer, de har lært at konstruere i forløbet om vektorer, dvs. linjer og cirkler. Sæt dem til at beregne (ikke måle vha. Cas-programmets funktioner) arealet af delelementer af figuren, som læreren (eller sidemanden, eller en anden gruppe) vælger for det enkelte mønster. Det valgte område kan variere i sværhedsgrad, hvilket giver mulighed for differentiering og faglig kreativitet. Sørg for at der skal beregnes skæringspunkter i processen. Bed evt. om at rotere figuren/mønstret 90 grader (tværvektor i spil). Her skal der foreligge beregninger af de roterede delelementer af figuren.

Til A-niveauelever: De kan i mønstret inddrage kendte funktioner: eksponentielle funktioner, potensfunktioner, andre standardfunktioner, trigonometriske funktioner. Når arealer skal beregnes, kan integralregning benyttes. Man kan også bede dem om at spejle figuren (omvendt funktion). Her skal der foreligge beregninger af de spejlede delelementer af figuren.

Eksempel 7: Ligningsløsning

Lad eleverne finde på ligningsløsningsspil eller lege, som vil kunne lære f.eks. folkeskoleelever at løse ligninger. Her kan man som underviser lægge niveauet ved at stille krav om hvilken målgruppe det drejer sig om. Elevernes løsningsforslag kan så være alt lige fra f.eks. computerspil med figurer og artefakter i stedet for tal og operatorer, til modificeret Kluddermutter hvor en person, skal kludres ud, eller hvad eleverne nu kommer op med. Kun fantasien sætter grænser. Her kommer både Omverdensrelationen og Kreativiteten i spil.