Matematik i SOP

Der eksisterer allerede en vejledning til studieområdet, som på tværs af fag indeholder retningslinjer for arbejdet med studieområdeprojektet (SOP), og som det naturligvis anbefales, at man gør sig godt bekendt med. Dette hæfte har til formål at uddybe, synliggøre og give forslag til hvordan faget matematik på en god måde inddrages i SOP. Det skal understreges at hæftet ikke er lovtekst, og at der kan være flere gode måder at gribe det an på, men flere vil forhåbentlig have gavn af de tanker, der ligger bag denne skrivelse.

Læreplanens krav

SOP erstatter så at sige SRP, men samtidig er SOP en form for kulmination på studieområdet. Der er angivet krav i læreplanen for SOP og anbefalinger læses i vejledningen til SOP. Nogle af de væsentligste punkter oplistes herunder, for at skabe et kort overblik over processen:

• Der vælges et område og en fagkombination. Et fag på A-niveau og et studieretningsfag uanset niveau.
• Eleven afleverer et forslag til en problemformulering (1-2 sider).
• Vejledere drøfter problemformuleringen med eleven så denne kan justeres.
• Vejlederne formulerer en endelig opgaveformulering, der er ukendt for eleven indtil udleveringsdagen.
• Projektperioden er 20 + 30 timer, heraf mindst 5 sammenhængende dage.
• Eleven afleverer SOP-rapport, 15-20 sider á 2400 anslag.
• Eksaminator og censor læser rapporten.
• Mundtlig SOP-eksamen med 30 min. eksamination, der udløser én karakter ud fra en helhedsvurdering af de skriftlige og mundtlige bedømmelseskriterier.

Hvad angår rapportens omfang bør man ved bedømmelsen være opmærksom på, at det til tider er urimeligt at tale om antal anslag i matematik, når der eksempelvis er arbejdet med udledninger, modellering, grafer og lignende.

Arbejdet med elevens problemformulering og den gode opgaveformulering

Som det fremgår af læreplanen for studieområdet afsnit 4.2.1, skal eleven under vejledning udarbejde en problemformulering, som afgrænser problemstillingen og angiver materialer og faglige metoder, der forventes at indgå. Selvom en del skoler i forvejen beder eleverne nedfælde deres ideer og afgrænsning på skrift, er en decideret problemformulering et nyt begreb. Det er vigtigt, at vejlederen i matematik er opmærksom på, at det kan være vanskeligt for en elev at vurdere, hvilken faglig dybde det er realistisk at beskæftige sig med i matematik. Desuden skal der være et samspil, hvor der kan være behov for, at man guider i den rigtige retning, da det kan tage eleven lang tid at sætte sig ind i nye matematiske områder. Men samtidig er det væsentligt, at eleven arbejder selvstændigt i denne periode. Der er tale om en balance, men hvor man som vejleder har i tanke, at det kan tage meget tid at sætte sig ind i et nyt matematisk område. Eleven skal gøres opmærksom på, at begge fag naturligvis bør indgå med en fornuftig vægt, men at matematik både kan være i førersædet eller være bagsædepassager, og at begge dele har sin berettigelse.

I arbejdet med den gode opgaveformulering, bør vejlederne holde skarpt øje med kravene til opgaveformuleringen, som ses i læreplanen afsnit 4.2.1.

Opgaveformuleringen skal indeholde noget fagspecifikt, men eleven skal også behandle tværgående problemstillinger. Det skal således være tydeligt i opgaveformuleringen, hvad eleven skal gøre for at forholde sig til det tværfaglige. Dette kunne eksempelvis gøres i en sætning som “argumentér for differentialligningens anvendelsesmulighed i forbindelse med matematisk modellering af myrers rekrutteringskommunikation”, hvor det vil være tydeligt for eleven, at der nu skal ske en kobling af fagene (matematik og bioteknologi), og at koblingen handler om at foretage modellering af noget naturvidenskabeligt ved brug af en bestemt type differentialligning. Et eksempel på en opgaveformulering med et samfundsfagligt fokus kunne være “undersøg, hvordan kønsfordelingen inden for medlemmer i folketinget har udviklet sig, gør herunder brug af bl.a. lineær regression”, hvor eleven skal benytte regression til at analysere en udvikling i samfundet. Regression kan også anvendes tværfagligt i forbindelse med analyse af data fra elevers egne forsøg i naturvidenskab.

Censorer ved SRP har berettet om, at tværfaglighed jævnligt har været en mangel i opgaveformuleringer, og det stiller eleven i en meget uhensigtsmæssig situation. Så det ønskes hermed understreget, at tværfaglige elementer skal indgå i opgaveformuleringen, så det er tydeligt for eleven, hvad der forventes i den henseende.

Opgaveformuleringen skal desuden være konkret og afgrænset. Dette kan gøres på mange måder, men her følger nogle tanker til overvejelse. Det vil være alt for bredt at sige “redegør for relevant matematik der indgår i emnet”, der bør være en afgrænsning som eksempelvis “redegør for løsning af 1.ordens differentialligninger”. Et spørgsmål kan dog også formuleres så snævert, at det fratager eleven muligheden for at vise evne til selv at foretage valg i sin løsning af opgaven, hvilket jo ellers hører med i bedømmelseskriterierne. Formuleringen “benyt separation af variable til at løse differentialligningen for eksponentiel vækst (dvs.y´=ky)” er nok for specifik i de fleste tilfælde. Ved den mundtlige eksamination kan elevens valg/fravalg jo netop blive genstand for en relevant drøftelse. Der skal samtidig tænkes på den konkrete elev, så en meget dygtig elev kan få en opgaveformulering, der stiller større krav end andre, mens andre elever måske har brug for en højere grad af konkretisering for at kunne komme i mål med rapporten.

Begge fag bør tydeligt og bredt indgå i opgaveformuleringen, således at det er tydeligt, at begge fag er nødvendige til behandling af emnet, der er dog nogle emner og fag, hvor samspillet er mere synligt og naturligt end andre. Men ved opgaveformuleringen skal tilstræbes, at matematik ikke blot får til opgave at redegøre for noget teori i starten af rapporten, hvorefter det andet fag helt overtager. Dette kan man som vejleder medvirke til at undgå, netop ved at matematik indgår i flere “pinde” i opgaveformuleringen.

I læreplanen og vejledningen lægges vægt på, at elevens emne skal belyses teoretisk og empirisk. Da matematik som udgangspunkt ikke er et empirisk fag, kan det være nødvendigt at hjælpe eleven med at få indarbejdet netop denne dimension i problemformuleringen. På emu.dk ligger flere dokumenter om krav til empiri i SOP, blandt andet et empiri-katalog med forslag til empiri i de enkelte fag.

Som forslag til empiri i matematik er givet følgende liste:

• Kurvetilpasning på baggrund af foto af fx bygning, bro eller lignende.
• Foto, omsat til målepunkter, eller fysiske opmålinger kan lægges i koordinatsystem og kurvetilpasninger og beregninger kan foretages.
• Regression.
• Alle typer af regression er eksempler på brug af empiri i matematik. Uanset om data kommer fra et andet fag (eksperimenter) eller man selv laver dem i matematik.
• Statistik: Beskrivende statistik er et eksempel på empiri i matematik, da det jo netop er analyse af indsamlet data.
• Modeller.
• Analytisk statistik.
• Geometriske metoder anvendt – empiri anvendt til udledning af metoder

Det er dog vigtigt at bemærke, at der ikke er krav til, at der skal indgå empiri i begge fag, og kravet til empiri kan således godt være dækket af det andet fag.

Taksonomi og metode i matematik

Taksonomi

I arbejdet med problemformuleringen er det vigtigt at sørge for, at eleven har fokus på at nå omkring de taksonomiske niveauer. Det vil her være en fordel at sørge for, at eleven anvender de relevante betegnelser for forskellige taksonomiske niveauer (som: redegøre, analysere, perspektivere/diskutere/vurdere) med henblik på at tydeliggøre for eleven, hvornår der arbejdes på de enkelte niveauer.

Formuleringer som “du skal behandle differentialligninger og svingninger i en fjeder og lave et forsøg om dette” kan gøre det svært for eleven at gennemskue, hvordan man når igennem de forventede taksonomiske niveauer, samt hvad der taksonomisk menes med et ord som “behandle”. Her kan man med fordel opstille flere spørgsmål, der har til formål at guide eleven igennem flere taksonomiske niveauer og desuden tydeliggøre det både fagspecifikke og tværfaglige i opgaveformuleringen. I det følgende gives et eksempel på dette:

“Redegør for harmoniske og dæmpede harmoniske svingninger. Redegør for løsning af 1.ordens differentialligninger. Analysér en dæmpet harmonisk svingning ud fra regression på egne data. Perspektivér den dæmpede harmoniske svingning i fjederen til affjedring i biler.” Her kommer eleven tydeligt forbi tre taksonomiske niveauer; Redegør, analysér og perspektivér. Desuden fremgår det fagspecifikke i både matematik og fysik samt det tværfaglige i behandlingen af fysikforsøget med regression.

Det er også vigtigt at gøre eleven bekendt med, at ord kan have forskellig betydning i forskellige fag. Eksempelvis er begrebet “redegørelse” i matematik på et højt taksonomisk niveau, mens det i andre fag betragtes som det laveste taksonomiske niveau.

Metode

På matematik A spiller deduktion en væsentlig rolle, og mange opgaveformuleringer vil derfor indeholde krav, der fører frem til, at eleven foretager deduktion i sin besvarelse. Dette er imidlertid ikke et krav, men afhænger af emnet. Der kan være emner, hvor det fx vil være mere naturligt at foretage en matematisk modellering, og hvor modelleringen i sig selv har en kompleksitet, der er tilstrækkelig. Dette kan være tilfældet, når der samarbejdes med et naturvidenskabeligt fag, hvor matematik vil optræde som redskabsfag. Her er elevens overvejelser omkring modellens rækkevidde, validitet og lignende naturligvis vigtig.

Det kunne tænkes, at matematiske ræsonnementer også kommer i spil, uden at deduktion er en del af det, men hvor fokus i stedet er på modelopstilling. Man bør være opmærksom på, at begrebet ”metode” i matematik ikke er entydigt, da det knytter sig til emnet, der behandles. Hvor en diskursanalyse i dansk f.eks. er en entydig metode, vil deduktion ikke være det samme, når det anvendes i forskellige matematiske emner. I matematik kan emneområdet i sig selv siges at være metoden.

Bedømmelseskriterier for SOP

Bedømmelseskriterierne for SOP er angivet i læreplanens afsnit 4.3.

Bedømmelsen foretages efter den mundtlige eksamination, og der gives én karakter ud fra en samlet vurdering af både den skriftlige opgavebesvarelse og den mundtlige eksamination. Der findes derfor bedømmelseskriterier for både den skriftlige opgavebesvarelse og den mundtlige eksamination.

I bedømmelseskriterierne til den skriftlige opgavebesvarelse står kombination af empiri og teori igen nævnt. Det er derfor vigtigt, at det fremstår tydeligt for eleven, hvornår og hvordan de to dele skal indgå i besvarelsen, og hvordan de to dele kombineres.

Hvis eleven for eksempel i sin redegørelse har lavet en teoretisk gennemgang af lineær regression, og i analysen anvender netop dette til behandling af data fra et andet fag, har eleven anvendt teori til at analysere empiri og dermed kombineret empiri og teori. Omvendt ville en redegørelse af lineær regression efterfulgt af en analyse baseret på en anden type regression, der ikke er gennemgået teoretisk, ikke vise lige så stor sammenhæng mellem empiri og teori.

Udvælgelse, kombination og anvendelse af viden og metoder fra de indgående fag samt begrundelser for faglige og metodiske valg er en del af de skriftlige bedømmelseskriterier, mens forståelse for fagenes og metodernes muligheder og begrænsninger er en del af de mundtlige bedømmelseskriterier. Det er derfor vigtigt, at eleverne ikke kun overvejer hvilke metoder, det er relevant at benytte sig af, men i særdeleshed også hvorfor, og hvilke muligheder og begrænsninger de har. Som nævnt tidligere er der flere mulige matematiske metoder, som elever kan gøre brug af i en SOP. Hvis der for eksempel anvendes matematisk modellering i form af en statistisk analyse i samfundsfag, er det vigtigt at eleven kan begrunde sit valg af matematisk modellering som metode samt redegøre for begrænsningerne af denne model til den mundtlige eksamination. Da emneområdet i sig selv kan siges at være metoden i matematik kan muligheder og begrænsninger af metoder være en overvejelse af, hvornår og hvordan en matematisk underdisciplin kan anvendes.