Forløb

Arkitektur og ligedannethed i trigonometri

Udskoling: Forløbet lægger vægt på arbejdet med begrebsforståelse og sprog gennem aktiviteter med fokus på at lytte, tale, læse og skrive om ligedannethed og trigonometri. Desuden indgår udendørs undersøgelser.

Forløbet er henvendt til udskolingen.

Anslået tidsforbrug: Ca. 8 lektioner.

Formålet med dette forløb er, at eleverne lærer at måle højder, som ikke lader sig måle med meterstok, målebånd eller lignende redskaber. Ved at arbejde systematisk med fagbegreber om trigonometri og ligedannethed styrker eleverne deres matematiske forståelse for sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter og måling af højder.

 

Forudsætninger, form og indhold

Forløbet tager udgangspunkt i, at eleverne har repeteret geometriske begreber og arbejdet med plane figurer. Det er vigtigt, at eleverne tidligere har lært om ligedannethed, så de har forudsætninger for at udvikle deres forståelse for begrebet og færdigheder i at anvende begrebet i denne nye sammenhæng.

I forløbet lægges særlig vægt på stilladsering. Makrostilladsering handler om at sætte elever i sprogbrugssituationer, så de udvikler deres sprog fra hverdagssprog til fagsprog. Mikrostilladsering handler om støtte på aktivitets- og opgaveniveau, men også om at udvikle elevernes sprog gennem lærer-elevsamtaler.

Makrostilladsering kommer til udtryk ved, at forløbets aktiviteter er tilrettelagt med en sproglig og faglig progression, som bevæger sig fra aktiviteter, der tager udgangspunkt i hverdagserfaringer og kontekstnært hverdagssprog, over aktiviteter, der støtter en fagliggørelse af sprog og viden, til slutproduktet som er en skriftlig formidling af den opnåede viden.

Mikrostilladsering kommer for eksempel til udtryk i klassesamtaler med lærerens åbne spørgsmål, ’before action’ hvor eleverne får etableret forforståelsen, begrebskort til fastholdelse af faglige begreber, elevernes gruppearbejde med dialog om problemløsning og anvendelse af redskaber og dialog om fremlæggelsens indhold. Forskellige arbejdsark anvendes også som mikrostilladsering. Det drejer sig blandt andet om ark med sætningsstartere, som hjælper eleverne med at formulere matematisk viden i hele sætninger.

Der er udarbejdet en uddybende lærervejledning til forløbet, som kan tilgås her.

 

Tilrettelæggelse

Beskrivelsen af dette forløb fungerer som vejledning og inspiration til faglærere, der skal indtænke tosprogede elevers sproglige udvikling i den almindelige fagundervisning. Forløbet rummer en detaljeret beskrivelse af et forløb og forklarer og illustrerer de grundlæggende principper for sprogbaseret undervisning i praksis.

Det kan løbende observeres, hvor meget eleverne deltager, og hvordan deres mestring af fagsproget og det faglige stof udvikler sig. Observationerne kan bruges til at give feedback til eleverne om deres fremskridt og til at planlægge stilladseringen for de enkelte elever i de næste aktiviteter. Nogle elever vil have brug for tydelig modellering og både faglig og sproglig stilladsering gennem hele forløbet.

Forslag til spørgsmål, der kan overvejes inden forløbet gennemføres:

  • Hvordan skal eleverne bevidstgøres om den sproglige progression?
  • Hvilke forventninger er der til deres arbejde og sprogbrug, og hvordan skal disse præsenteres?
  • Hvilken rolle skal elevernes faglige og sproglige niveau spille for inddelingen i grupper?
  • Hvordan skal aktiviteten med screencast samt den udendørs aktivitet organiseres?
  • Hvordan kan der observeres og stilladseres sprogligt i henholdsvis klassesamtaler og gruppearbejde?

 

Forløbets opbygning

Forløbet er skitseret herunder. Hver del af forløbet indledes med en opsummering af de fagord og begreber, som blev anvendt i den foregående fase og en præsentation af nye ord. 

 

Introduktion

Forløbet kan starte med en introduktion til opbygning og organisering samt præsentation af væsentlige fagbegreber.

Geogebra og screencast

Herefter kan der i makkerpar arbejdes med mundtlig beskrivelse og forklaring, inden makkerparrene kan arbejde med opgaver i geogebra. I en screencast kan de optage deres arbejde i geogebra, hvor de fastholder deres mundtlige fremstilling.

Begreber og begrebskort

For at understøtte forståelsen af relevante fagord og begreber kan eleverne nu udarbejde et mindmap/begrebskort. Et sådan notatark kan hjælpe med at fastholde fagbegreber og sammenhænge inden for det matematiske område, som eleverne beskæftiger sig med.

Undersøgelse, højdemåling og video

I næste del af forløbet kan eleverne i grupper undersøge, hvordan det er muligt at måle højden på emner som en flagstang, et træ eller noget andet højt. Grupperne kan optage en video, der fastholder de mundtlige hypoteser/målemetoder, som afprøves, og fasen kan afsluttes med en præsentation i klassen.

Samtaler om målemetoder

Grupperne kan nu skriftligt arbejde med at fastholde de udsagn, de anvendte i den seneste lektion. De kan beskrive emne, redskaber og målemetode og beskrive, hvordan de har målt afstande, vinkler og højde. Herefter kan beskrivelserne inddeles efter metoder, hvilket kan danne udgangspunkt for en fælles samtale om målemetoder.

 

Inspiration

I matematik møder eleverne forskellige former for tekster. Du kan læse mere i artiklen "Om sprog og tekster i matematik" via dette link.  

 

Evaluering

I dette forløb kan løbende evaluering foretages ved hjælp af skærmoptagelser (screencast), hvor eleverne mundtligt forklarer, hvordan de undersøger eller løser opgaverne i GeoGebra. Denne form er oplagt i et geometriforløb, da de geometriske undersøgelser med stor fordel kan foregå i det dynamiske program, og eleverne kan reflektere over de valg, de foretager i programmet.

Derudover fungerer begrebskortet både som brainstorm og evalueringsværktøj. Her fastholder eleverne deres udvikling af fagbegreber og kan samtidig danne sig et overblik over sammenhængen mellem disse. Endelig optager eleverne deres udendørs aktivitet på en video, hvilket også kan indgå som en del af evalueringen ved fastholdelse af valg af emne, måleinstrument og -metode.

Elevernes faglige og fagsproglige udvikling kan observeres og følges i klassesamtaler og gennem mikrostilladserende samtaler med eleverne under makker- og gruppearbejde.

Der kan efter gennemførelsen af forløbet sættes fokus på spørgsmål som:

  • Hvilke observationer gjorde jeg mig omkring udviklingen af elevernes sprog?
  • Hvad fungerede godt i situationerne med gruppearbejde?
  • Hvordan fungerede brugen af stilladsering i klassedialog og i forhold til vejledningen i grupper?
  • Hvad er det eksemplariske i dette forløb, og kan erfaringerne herfra bruges i fremadrettet planlægning af undervisningen?

 

Kreditering

Materialet er udviklet af VIA University College og University College Capital (UCC) for Børne- og Undervisningsministeriet på baggrund af forskning om, hvad der styrker tosprogede elevers faglige udvikling. Gennemførelsen af forløbet er afprøvet i samarbejde med faglærere på klasser med stor andel af tosprogede elever.

Materialet består af i alt 13 forløb til fagene dansk, historie, idræt, matematik og natur/teknologi. Materialet kan anvendes i arbejdet med dansk som andetsprog eller i den fagfaglige undervisning med fokus på sproglig udvikling i det enkelte fag.

Alle 13 forløb findes samlet på emu.dk

unpublished

Forslag til lektionsplan


Indledning

Forløbet kan startes med, at indhold og organisering gennemgås. Der kan også skrives mål for forløbet og sættes fokus på relevante begreber, eksempelvis ligedannethed, bestemme, afstande, mundtligt, reglerne, anvende.

Ordforklaringer kan ledsages af eksempler og visualisering. Læreren kan sætte forberedte skilte med begreber fra arbejdet med geometri i to dimensioner på tavlen, for eksempel figur, vinkel, konstruere, længde, forhold, ligedannede, linjestykke, hosliggende og modstående katete. Begreberne kan oversættes til hverdagssprog og det kan vises, hvordan orddeling er en god strategi til at forstå sammensatte begreber.

Alle elever kan eventuelt tale om ordenes betydning og funktion først. Dernæst kan de give deres uddybende forståelse af ordenes betydning i klassedialogen.

 

Bearbejdning

Efter klassesamtalen kan der udleveres en ”before action”-opgave, hvor eleverne kan arbejde med følgende spørgsmål:

  • Hvordan benævner I linjestykker i figurer?
  • Hvordan benævner I vinkler i figurer?
  • Opskriv en generel regel til ovenstående?

Spørgsmålene indeholder fagbegreber, som kan stilladsere elevernes besvarelser. Udvalgte nøglebegreber, som kan støtte skriftlige og faglige erkendelser, kan skrives på en planche eller i en ordliste.

Herefter kan opgaven 'Screencast' præsenteres (se lærervejledning), og det kan demonstreres, hvordan eleverne kan lave en screencast.

Eleverne kan afslutningsvis give feedback på hinandens screencast ud fra kriterier som:

  • Er opdagelserne vist tydeligt?
  • Er begreberne ligedannet og ensvinklet samt anvendt i forklaringen?
  • Giv din makker et godt råd, der kan forbedre optagelsen.

 

Opsamling

Der kan afsluttes med en sprog- og fagevalueringssamtale i klassen. Der kan udvælges et par optagelser, som indeholder gode besvarelser. Læreren kan modellere, hvilke kriterier der er opfyldt, og hvilke gode råd han/hun ville give.


Indledning

Lektionen kan indledes med at skrive begreber på tavlen fra tidligere i forløbet samt nye begreber med fokus på trigonometri.

Eleverne kan udfordres til at illustrere begreberne med konkreter og udforme hele sætninger med disse: ligedannet, retvinklet, højdemåling, afstand, forhold, vinkel. Der kan udleveres et ark med sætningsstartere, hvis eleverne har behov for det.

Læreren kan nu spørge ind til, hvilke begreber eleverne kender. De nævnte begreber kan læreren skrive i et begrebskort/mindmap på tavlen, samtidig med at der er vægt på at forklare begreberne og bruge dem i hele sætninger. Eleverne kan også skrive begreberne ind i deres eget begrebskort med ordet trigonometri i midten. 

 

Bearbejdning

Læreren kan nu præsentere de faglige begreber fra den første aktivitet for eleverne med den hensigt, at eleverne skal forstå begreberne, være i stand til at bruge dem, forholde sig til dem og kunne forklare dem.

Læreren kan instruere eleverne i at tale med makkeren om, hvilke faglige begreber de kender i denne sammenhæng. Eleverne kan så udarbejde et begrebskort i et digitalt mindmap eller på et A3-ark. Eleverne kan skriftligt formulere hele sætninger på deres ark, hvor ordene indgår i deres korrekte betydning.

 

Opsamling

Lektionen kan afsluttes med, at læreren skriver elevernes begreber på et mindmap og præsenterer mundtligt, hvordan begreberne kan indgå i en hel sætning.


Indledning

Lektionen kan indledes med en opsummering af sidste lektion. Der kan stilles lukkede og åbne spørgsmål som:

  • Hvor mange forskellige typer trekanter talte vi om sidst?
  • Kan I nævne navnene på trekanterne?
  • Er det muligt at anvende en af trekanterne, når I skal måle en højde, der ikke kan måles med målebånd eller tommestok?

Der kan lægges vægt på, at elever anvender fagsproglige begreber og hele sætninger i deres svar. Hvis ikke det er tilfældet, kan læreren stilladsere eleven til et mere præcist og et mere uddybet svar. Eleverne kan få mulighed for hurtigskrivning eller kort parsamtale om disse trigonometriske begreber som støtte til, at så mange som muligt kan deltage aktivt i klassesamtalen.

Dernæst kan eleverne finde deres begrebskort/mindmap frem og tale sammen i makkerpar om de fagord, de har noteret. Eleverne kan hjælpe hinanden med at finde forklaringer på de ord, de selv finder brugbare.

 

Bearbejdning

Efter det mundtlige arbejde med begrebsarket kan begreberne retvinklet trekant og ligedannethed skrives på tavlen. Læreren kan stille spørgsmål som oplæg til makkersamtale, eksempelvis: ”Den retvinklede trekant er et af begreberne på jeres begrebsark. Forestil jer en retvinklet trekant, hvis kateter er 1 meter lang. Hvor høj en genstand vil I kunne måle, hvis den rette vinkel er placeret helt henne ved den genstand, som I vil måle?”

Eleverne kan parvis tale om lærerens spørgsmål om måling af højder. De kan undervejs indgå i dialog med læreren om deres beregning og lade sig støtte af lærerens brug af faglige begreber og ekstra spørgsmål om beregning af højde i en konkret situation.

Læreren kan så tegne to ligedannede trekanter på tavlen og forklare, at de to trekanter er ligedannede, fordi deres vinkler parvis er lige store. Herefter kan eleverne mundtligt og fagsprogligt dirigere lærerens konstruktion af ligedannede trekanter på tavlen.

Læreren kan herefter bede eleverne om at se på et billede af et hus, og spørge dem, hvordan de vil kunne udregne højden af det hus, der er på billedet, hvis de skal bruge deres viden om ligedannethed.

Eleverne kan så reflektere mundtligt og dialogisk om, hvordan man kan udregne højden af et hus med afsæt i viden om ligedannethed.

 

Gruppeundersøgelse

Læreren kan nu instruere eleverne i en udendørs gruppeundersøgelse af forskellige højder og hvilket produkt, undersøgelsen skal resultere i. De kan undersøge, hvordan det er muligt at finde højden på emner som: flagstang, træ, hus (til tagryg), skrift på facade og lign.

Elevgrupperne kommer givetvis med forskellige mundtlige forslag til, hvordan det er muligt at måle højder. Eleverne kan afprøve forskellige hypoteser/muligheder for at måle højder på det eller de valgte emner. De kan optage deres mundtlige forslag i videoklip og heri præsentere og begrunde, hvilket redskab/hvilke redskaber de vælger til denne indledende aktivitet. Dette videoklip kan være en del af elevernes slutprodukt.

Eksempler på produkter kan være et foto, som de kan lægge i GeoGebra og derfra arbejde med at undersøge højde, gå ud og måle med et målebånd og en Jakobsstav eller andet måleinstrument for at finde højden på det emne, gruppen har valgt.

 

Opsamling

Undersøgelsen kan afsluttes med en præsentation i klassen. Læreren kan stilladsere præsentation og begrundelse for valg af redskab på denne måde: ”Når I præsenterer jeres måleredskab, kan I sige: Vi har valgt x til at måle højden på x, fordi det kan x og x, hvilket giver os et tilnærmelsesvist præcist resultat, når vi x”.

Læreren kan medbringe et glas og nogle centicubes, som skal visualisere mængden af fagbegreber anvendt i fremlæggelsen hos alle grupperne. Der kan så lægges en centicube i glasset for hvert fagbegreb, grupperne har nævnt i en korrekt sammenhæng.

Hvis eleven under præsentationen viser en Jakobsstav og siger Jakobsstav, kan læreren stille åbne spørgsmål til eleven og lave optag af elevens svar for at støtte en sammenhængende og fyldestgørende præsentation og begrundelse af målemetoder.

Når en gruppe har fremlagt kan der afslutningsvis reflekteres over antallet af fagbegreber anvendt i korrekt sammenhæng i fremlæggelsen og lægges det antal centicubes i glasset, der modsvarer disse.


Indledning

Lektionen kan startes med, at grupperne finder de redskaber og skriftlige arbejdsark, de anvendte i forbindelse med fremlæggelsen.

Grupperne kan så tænke tilbage på den seneste lektion og mundtligt gennemgå, hvilket emne de valgte at måle, hvilke instrumenter de anvendte til målingen, og hvordan de udførte målingen. Eleverne kan tale sammen i grupperne og bruge nogle af de formuleringer, de anvendte som svar på elevspørgsmål i den seneste lektion.

 

Bearbejdning

Herefter kan grupperne instrueres i at skrive valg af emne, redskaber og målemetode på et A3 eller A2 ark. Læreren kan modellere en for eleverne kendt målemetode på tavlen. Eleverne kan uddybe målemetoden ved skriftligt at beskrive, hvordan de har målt for eksempel afstand, vinkel og højde.

Læreren kan så indsamle elevernes ark med beskrivelser af målemetoder og inddele beskrivelserne i grupper efter hvilken målemetode (kriterier), der er anvendt.

Eksempler på de forskellige målemetoder kan hænges op på væggen/tavlen, grupperne kan nu prøve at formulere, hvad der ligger til grund for inddelingen. Eleverne kan så tale om, hvilke kendetegn de ser på de forskellige gruppers ark. Derefter kan de mundtligt skrive et svar på, hvilke kriterier læreren har anvendt for sin opdeling.

 

Opsamling

Læreren kan afslutningsvis skrive elevernes formuleringer af kriterierne på et stort ark. Hvis der er formuleringer, der kan forbedres i forhold til fagsprog, kan der stilladseres, så sætningerne bliver tydelige og forståelige.

Der kan evalueres ved at spørge eleverne, hvad de har lært i dette forløb. Måske kan klassen sammen formulere nogle succeskriterier, der viser, hvilke skridt eleverne har taget på vejen mod forståelsen af arbejdet med ligedannede trekanter.

Der kan formuleres succeskriterier i stil med: Vi har lært, at den retvinklede trekant kan bruges til højdemåling, vi har lært at skelne mellem hosliggende og modstående.


Siden er opdateret 08. oktober 2021 af emu-redaktionen
Rettigheder:

Tekstindholdet på denne side må bruges under følgende Creative Commons-licens - CC/BY/NC/SA Kreditering/Ikke kommerciel/Deling på samme vilkår. Creative Commons-licensen gælder kun for denne side, ikke for sider, der måtte henvises til fra denne side.
Billeder, videoer, podcasts og andre medier og filer på siden er underlagt almindelig ophavsret og kan ikke anvendes under samme Creative Commons-licens som sidens tekstindhold.