Lærervejledning til forløb: Regnestrategier med multiplikation og division

1.-2. lektion: Introduktion, modellering og makkerarbejde med centicubes

Lektion 1 og 2 er inddelt i fire faser. Til sidst kan det være hensigtsmæssigt, at læreren afslutter med en 5-minutters evaluerende samtale om metoder og begreber.

Indledning

Forløbet indledes med, at læreren aktiverer elevernes forkundskaber om begrebet gange/multiplikation, først ved at nævne eksempler i klasselokalet, for eksempel rækker med stole, antal rækker af elevhylder og så videre. Læreren aktiverer også elevernes forkundskaber om fænomenet at gange: Læreren kan for eksempel spørge, hvad det vil sige at gange, og hvornår man kan have brug for at gange. Læreren kan hjælpe med at sætte konkrete billeder på spørgsmålet ved at fortsætte: ”Bruger vi gange, når vi køber ind?”. Det er vigtigt, at læreren har tænkt på, hvordan det abstrakte matematiske begreb kan illustreres og gøres konkret med en hverdagserfaring og i et hverdagssprog, som alle elever forstår.

I begyndelsen af forløbet er det vigtigt at blive i en hverdagssproglig kode og hjælpe elevernes svar på vej med nye, mere konkrete måder at spørge på. Det er en god idé først at nævne konkrete eksempler som stolerækkerne og eksplicitere, hvad stolerækkerne kan vise eleverne om at gange, inden eleverne skal finde egne eksempler.

Bearbejdning

Eleverne skal nu arbejde i makkerpar med centicubes. Formålet med arbejdet er at give eleverne en forståelse for og erfaring med, hvordan forskellige mønstre kan illustrere en multiplikation. Inden da, kan eleverne introduceres til formålet med aktiviteten, og læreren kan modellere løsningsstrategier for eleverne ved at vise dem på tavlen, mens læreren ”tænker højt” og altså sprogliggør sine egne strategier og overvejelser for klassen.

Eksempel på modellering af løsningsstrategier

Øvelsen kan indledes med at modellere og demonstrere for klassen, hvordan de skal arbejde. Læreren viser helt konkret, hvordan et mønster kan lægges forskelligt med rækker med forskelligt antal i hver række og dermed, hvordan en multiplikation, hvor produktet er 24, kan illustreres med forskelige mønstre. Læreren lader sit talesprog ledsage det, han eller hun gør, men er også omhyggelig med at bruge fagord som rækker, som eleverne selv skal lære.

Læreren modellerer også, hvordan man skriver op, hvor mange rækker der er, og hvor mange centicubes, der er i hver række. Læreren gør eleverne opmærksomme på, at demonstrationen er modellen for, hvordan de selv skal arbejde og bruge sproget, og hvad de skal skrive ned.

Læreren er altså omhyggelig med at tænke højt, mens mønstrene tegnes og vises. Læreren kan vise og forklare: ”Når jeg lægger 2 rækker centicubes, så er der 12 centicubes i hver række. Det tegner jeg sådan…. Når jeg skal skrive mit gangestykke op, så skriver jeg altså 2, fordi der er 2 rækker, og 12, fordi der er 12 centicubes i hver række. 2 rækker med 12 i hver medfører altså et gangestykke – et multiplikationsstykke – der skrives 2 X 12 = 24.” Læreren tænker højt og siger og viser, hvordan det modsatte gangestykke kan tegnes og skrives op.

Læreren gør eleverne opmærksomme på, at makkerparrene både skal lave mønstrene, tegne dem, skrive gangestykkerne op og ikke mindst kunne forklare dem mundtligt. Læreren modellerer også, hvordan regnestykket ser ud, hvis det skrives op som gentagen addition.

Det er vigtigt, at læreren i sin modellering har fokus på at folde sætninger og logiske sammenhænge (”når….så….fordi”) helt ud. På den måde hører eleverne, hvordan det matematikfaglige register bruges, og det fungerer som et sprogligt input, der er model for deres eget arbejde efterfølgende. Selvom det er vigtigt, at læreren har fokus på, selv bruger og gør eleverne opmærksomme på at bruge ord som gangestykke og multiplikationsstykke som synonymer, kan det sproglige fokus i matematik ikke reduceres til at handle om ord og begreber. Det er lige så vigtigt, at eleverne lærer at give udtryk for deres ræsonnementer og deres argumenter.

Efter lærerens gennemgang og modellering kan eleverne med fordel tale sammen to og to og opsummere det, læreren har forklaret. Når eleverne taler i grupper eller i par, er det en god idé at lytte til og måske mikrostilladsere elevernes formuleringer, så de får hjælp til at bruge de rigtige og mest præcise formuleringer og dermed strække sproget. Læreren kan også få et indtryk af, hvem der måske har brug for mere hjælp og stilladsering i de kommende aktiviteter.

Læreren fordeler nu elever i makkerpar, og hvert makkerpar får 24 centicubes (eller et andet konkret materiale). Eleverne arbejder parvis sammen om at afprøve og finde ud af, hvordan de kan lægge 24 centicubes på rækker med samme antal i hver. Eleverne må finde så mange løsninger, de kan, og læreren kan mundtligt støtte og udfordre eleverne til at beskrive, hvad de gør. Løsningsforslagene skitserer makkerparret på et papir for at fastholde de forskellige forslag.

Mens eleverne arbejder, kan læreren støtte eleverne ved at hjælpe sproget på vej med spørgsmål til makkerpar, der måtte have brug for det. Læreren kan bede dem genfortælle trin for trin, hvad de gjorde, og hvordan de kom frem til et bestemt gangestykke. I dialogen stiller læreren åbne spørgsmål og hjælper eleverne med at svare i hele sætninger og med passende brug af fagsprog. Læreren kan også sikre taletid til eleverne ved at bede dem genfortælle, hvad de gjorde, da de lavede et mønster til et andet makkerpar. En sådan udveksling mellem makkerpar kan også tilrettelægges som en informationskløftsopgave, hvor det andet makkerpar skal tegne det mønster, der bliver fortalt om.

Bearbejdning

Eleverne præsenterer nu deres undersøgelsesresultater fra makkerarbejdet. Et makkerpar viser på den interaktive tavle en løsning blandt de forskellige løsninger, de har fundet. De kan vise 1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6 og den modsatte vej, og de skal forklare, at når man kun lægger 1 række centicubes, medfører det, at alle 24 centicubes skal ligge på samme række, når man lægger 2 rækker, medfører det at … og så videre. Makkerparrene tegner de rækker af centicubes, der fremkommer, og forklarer, hvilket multiplikationsstykke, der repræsenterer rækkerne af centicubes. Makkerparret formulerer og skriver multiplikationsstykket ved rækkerne af centicubes på smartboardet.

Læreren kan sætte fokus på forskellige måder at multiplicere på ved at indramme eksempler og tydeliggøre selve multiplikationen. Under fremlæggelserne kan læreren stille åbne spørgsmål til eleverne, som hjælper deres mundtlige sprog på vej. Nogle elever har brug for, at opgaven med at vise og fremlægge brydes ned, så de fremlægger et element ad gangen, måske som svar på et lærerspørgsmål.

Når fremlæggelserne er afsluttet, kan læreren udfordre eleverne gennem et hypotetisk spørgsmål som: ”Hvad nu hvis der var 30 centicubes, hvilke gangestykker kan I så lave?”. Formålet er at give eleverne mulighed for at anvende løsningsstrategierne i en ny kontekst. Makkerparrene arbejder sammen om at finde forskellige løsninger. Eleverne har mulighed for at anvende centicubes, hvis de har behov for det. Makkerparrene præsenterer mundtligt de forskellige løsninger for klassen eller for et andet makkerpar. Læreren bør have fokus på, om eleverne anvender de faglige begreber gange og multiplikation som synonymer, og skriver derfor begge begreber på tavlen og gentager dem.

Multiplikation er et centralt begreb i dette forløb. Derfor kræver begrebet en særlig opmærksomhed og sproglig bearbejdning. Måske har læreren brugt begrebet tidligere i forløbet, men nu kan man med fordel gøre det tydeligt for eleverne, at multiplikation er et ord, de forventes at forstå og bruge. Derfor er der brug for, at elevernes opmærksomhed rettes mod ordet. Læreren kan indlede en klassesamtale om begrebet multiplikation ved at minde eleverne om, at det betyder det samme som at gange, mens de to ord skrives op på tavlen. Eleverne har brug for at høre ordet mange gange, måske selv skrive det ned og læse det op. Læreren kan vise, hvordan ordet bruges ved at stille spørgsmål af samme type, som blev stillet med begrebet gange i begyndelsen af forløbet. Eleverne kan tale sammen i makkerpar, inden de svarer, og spørgsmålene kan give eleverne muligheder for at høre og selv bruge multiplicere og multiplikation i hele sætninger.

3.-4. lektion: Multiplikationsløb og mønstre

Lektion 3 og 4 er inddelt i tre faser. Til sidst kan det være hensigtsmæssigt, at læreren afslutter med en 5-minutters evaluerende samtale om metoder og begreber.

Indledning

Læreren kan indlede lektionen med at opsummere aktiviteten med centicubes og stille åbne spørgsmål til elevernes forkundskaber fra pararbejdet med at finde forskellige løsninger på multiplikationsstykker med produktet 24.

Eksempel på mikrostilladsering

Læreren kan med fordel minde eleverne om de forskellige strategier gennem en klassesamtale, der også repeterer begrebet multiplikation.

Læreren kan for eksempel indlede aktiviteten med at spørge eleverne: Hvad betyder ordet multiplikation? Et makkerpar svarer for eksempel: Det betyder, at vi lægger det samme tal sammen flere gange. Læreren gentager: At lægge det samme tal sammen flere gange er det samme som at multiplicere – kan I forklare det med jeres egne ord?

Læreren giver makkerparrene 3 minutter til at tale sammen om det spørgsmål.

Et makkerpar forklarer: 3 x 4 er det samme som at lægge 3 sammen 4 gange, og det bliver 12. Læreren gentager: Multiplikation er det samme som at lægge det samme tal sammen flere gange, for eksempel er 3 x 4 det samme som at lægge 3 sammen 4 gange, og det bliver 12.

Hvis et makkerpar i stedet for at formulere en hel sætning svarer med et eller få ord som: ”vi ganger”, kan læreren forsøge at strække elevernes sprog ved at reformulere deres svar som et helt spørgsmål ved at sige: Ja, vi ganger eller multiplicerer ved at lægge det samme tal sammen flere gange.

Læreren kan altså stilladsere elevernes mundtlige sprog, så de folder hele det matematiske register ud. Læreren skal også være klar til at mikrostilladsere eleverne med åbne spørgsmål og ved at omformulere og præcisere det, de siger. Læreren kan i den sammenhæng også ‘oversætte’ eller udfordre nogle af elevernes hverdagsbegreber til matematiske begreber.

Bearbejdning

Læreren introducerer nu eleverne til et multiplikationsløb. Læreren inddeler eleverne i grupper på fire og forklarer multiplikationsløbet og formålet med øvelsen: Eleverne skal finde forskellige ting, der kan illustrere multiplikation, og elevene skal vise hvordan. Læreren forklarer, at der findes seks multiplikationsposter i skolegården. Ved hver post er der et M. Når eleverne har fundet posten, skal de tage et billede af mønsteret. Når de har taget billeder ved alle seks poster, skal de komme tilbage til klasseværelset.

Måske har læreren identificeret nogle steder i skolegården, hvor der er mønstre, der kan bruges til at illustrere multiplikation (et vindue eller en række vinduer inddelt i fag, flise- eller murstensmønstre eller andet konkret). Læreren har måske taget billeder af disse mønstre på forhånd og hængt dem op ved posterne, så eleverne kan tage et eksemplar med, når de har fundet posten, eller måske skal eleverne selv tage billeder, som efterfølgende kan printes ud.

Eleverne kan på baggrund af fotografiet for eksempel identificere to forskellige multiplikationer: 3 x 8 og 6 x 4 - hvis alle tre fag indgår i multiplikationen. Hvis kun et fag indgår i multiplikationen, så kan eleverne identificere multiplikationerne 2 x 4 eller 4 x 2.

Læreren deler efter løbet firemandsgrupperne i makkerpar og beder hvert par udvælge et fotografi og tegne mønsteret fra fotografiet på et stort papirark. Læreren informerer eleverne om, at de skal vælge en strategi til at finde resultatet af multiplikationen. Makkerparrene skal illustrere deres strategi på papirarket, for eksempel ved at vise rækker. Eleverne tegner et billede af deres valgte mønster fra fotografierne (vindue, fliser el. lign.). Eleverne afmærker/skriver/farver deres måde at multiplicere på deres store, fælles ark. Læreren samler arkene ind, og grupperer arkene efter multiplikationsstrategi. (1: fortløbende addition, 2: optælling vha. tabel, 3:tænke sig til svaret på multiplikationen 4:… ). Efter denne opdeling beder læreren eleverne to og to snakke om, hvad der er karakteristisk for hver af de bunker, hun har lavet. Læreren kan afslutte med en fælles opsamling af makkernes arbejde med at definere de tre bunkers metoder og strategier.

Læreren beder et makkerpar fra hver gruppering af multiplikationsmetoder om at forklare klassen om deres metode. Formålet er her, at eleverne deler forskellige strategier med hinanden med deres egne ord. Det er vigtigt undervejs i denne aktivitet – som med alle de andre mundtlige aktiviteter – at læreren stilladserer elevernes mundtlige sprog, så de folder hele det matematiske register ud. Læreren kan hjælpe på vej med åbne spørgsmål, men kan også være klar til at mikrostilladsere eleverne med opmuntringer og suppleringer, der hjælper dem med at fortælle, hvad de har gjort trin for trin. Læreren kan i den sammenhæng også ‘oversætte’ eller udfordre nogle af elevernes hverdagsbegreber til matematiske begreber.

Eleverne får nu deres ark igen og skal vælge en anden metode end den, de har brugt i deres første forsøg. De skal så tegne et nyt mønster på deres ark, hvor de multiplicerer på den nye måde.

5.-6. lektion: Multiplikation og division

Lektion 5 og 6 er inddelt i tre faser. Her skal eleverne arbejde med sammenhængen mellem multiplikation og division.

Bearbejdning

Læreren kan indlede lektionerne med at forklare formålet med dagens arbejde til eleverne. Eleverne skal nu arbejde med division. Eleverne får deres mønstertegning fra de tidligere lektioner tilbage og skal i makkerpar dele deres mønster i et antal områder med lige mange felter i hvert område.

Eksempel på modellering af løsningsstrategier

Inden eleverne selv går i gang, modellerer læreren løsningsstrategien ved at vise, hvordan man bruger et mønster til at illustrere en division. Læreren lader igen talesproget ledsage det, han eller hun gør, og læreren tænker højt foran klassen, som altså både hører og ser læreren inddele mønsteret og skrive det tilhørende divisionsstykke op. Læreren lægger især vægt på, at eleverne forstår, at begreberne ”division” og ”at dividere” er synonymer for ”deling” og ”at dele”. Læreren oversætter hverdagsordet ”at dele” med ”dividere” under modelleringen på tavlen.

Elevernes opmærksomhed skal rettes mod det forhold, at de skal dele mønsteret i lige store stykker. Læreren understreger definitionen af at dividere ved at illustrere den med sit mønster og ved at skrive den op på tavlen. Læreren kan også henlede elevernes opmærksomhed på dette ved at spørge, om man kan lave et divisionsstykke, hvor man deler mønsteret op i områder med forskellige størrelser af felter. Læreren illustrerer så dette på mønsteret på tavlen. Hvis læreren stiller det åbne, opdagende spørgsmål, er der en stor fare for, at kun de dygtigste elever kan følge ræsonnementet. Derfor er det vigtigt at formulere definitionen tydeligt for alle elever og at vise det i både skrift og på mønsteret i begge tilfælde.

Nu går eleverne i gang med deres egne mønstre. De skal i makkerpar dele deres mønster op i områder med lige mange felter i hvert område. De skal skrive divisionsstykket ved siden af mønsteret. Eleverne gøres opmærksomme på, at de skal bruge lærerens gennemgang som model for deres eget arbejde, og at de skal forklare hinanden, hvad de gør.

Læreren kan bede eleverne illustrere deres divisionsstykker for hinanden ved at forklare dem mundtligt til et andet makkerpar. På den måde får læreren sat eleverne i en sprogbrugssituation, der kræver, at de sprogliggør det, de har lavet matematisk. Læreren kan med fordel hjælpe på vej med åbne spørgsmål og med reformuleringer og udvidelser af deres svar.

Når alle elever har illustreret og forklaret et divisionsstykke, skal eleverne finde alle de multiplikations- og divisionsstykker, de kan i deres mønster. Formålet med denne aktivitet er at vise eleverne, hvordan multiplikation og division er hinandens inverse. Nogle elever vil måske selv kunne gennemskue dette, mens de arbejder med mønstrene, andre har brug for, at læreren identificerer og beskriver denne sammenhæng for eleverne. Læreren kan identificere sammenhængen og definere, hvori sammenhængen består, ved at vise det med et multiplikations- og divisionsstykke. Derefter kan eleverne selv finde alle de tilsvarende stykker i deres mønstre og øve sig i at forklare sammenhængen til hinanden.

De makkerpar, der kan sættes i gang med at arbejde mere selvstændigt og opdagende, kan i stedet finde alle de multiplikationsstykker og divisionsstykker de kan i deres mønster. Når de har fundet alle stykkerne, kan de se, om de kan finde en sammenhæng mellem multiplikationsstykkerne og divisionsstykkerne. Bagefter kan de fortælle klassen om deres bedste gæt på en sammenhæng

Makkerparrene arbejder sammen, og efterfølgende samler læreren op på elevernes arbejde i en klassesamtale, hvor de forskellige makkerpar mundtligt kan byde ind med deres gæt og forklaringer og skriftliggøre deres gæt gennem en tegning på smartboardet. Læreren følger op på elevernes gæt ved mundtligt og skriftligt gennem tegning på smartboardet at tydeliggøre sammenhængen mellem division og multiplikation.

Opsamling

Som afsluttende fælles evaluering deltager eleverne i en tredje og afsluttende klassesamtale om, hvad der var let og svært i forløbet, og hvad de nu kan matematisk og sprogligt. Som afsluttende individuel evaluering på lektionerne skriver eleverne deres egne forklaringer på sammenhæng mellem multiplikation og division og illustrerer sammenhængen gennem tegning af et mønster med multiplikation og et med division. Endvidere kan eleverne lave ordforrådsarbejde ved at udarbejde begrebskort, hvor de arbejder med tre repræsentationer af multiplikation.

Et begrebskort kan eksempelvis indeholde et af følgende repræsentationer.

Mønster/billede med multiplikation som billedet med vinduerne
Multiplikation med tal: 2 x 5 = 10
Regnefortælling med multiplikation: Ole pudser to rækker med fem vinduer i hver række. Hvor mange vinduer pudser Ole?

Indsæt kun en af repræsentationsformerne, så eleverne eksempelvis selv finder på et regnestykke eller en regnefortælling ud fra et billede.

Kreditering

Materialet er udviklet af VIA University College og University College Capital (UCC) for Børne- og Undervisningsministeriet på baggrund af forskning om, hvad der styrker tosprogede elevers faglige udvikling. Gennemførelsen af forløbet er afprøvet i samarbejde med faglærere på klasser med en stor andel af tosprogede elever.

Vejledningen er en del af forløbet Regnestrategier med multiplikation og division.